Miejsce w SLW: uczeń Kazimierza Twardowskiego.

Obszary badań: logika, semiotyka logiczna, ontologia formalna.

Najważniejsze wyniki: zbudowanie trzech systemów formalnych: prototetyki, ontologii i mereologii.

BIOGRAFIA

Data i miejsce urodzenia: 28.03.1886. Sierpuchow (Rosja).

Data i miejsce śmierci: 13.05.1939. Warszawa.

Rodzice: Izydor i Helena z d. Palczewska.

Matura: Męskie Gimnazjum Klasyczne w Irkucku (1904).

Studia: Uniwersytety w Lipsku, Zurychu i Heidelbergu, UL (1910–1912).

Doktorat: Przyczynek do analizy zdań egzystencjalnych. 23.07.1912. UL. Kazimierz Twardowski.

Habilitacja (planowana): 1. Podstawy ogólnej teorii mnogości. 2. Krytyka logicznej zasady wyłączonego środka. Projektowana w 1919 – nie odbyła się.

Profesura: 13.08.1919/27.09.1935.

Dydaktyka: UW (1919–1939).

IDEE, PROBLEMY, REZULTATY

Ogólna charakterystyka dorobku naukowego

Do najważniejszych osiągnięć Leśniewskiego należą m.in.: oryginalna teoria sensu, pewne propozycje rozwiązania antynomii, Russella, Meinonga, Nelsona-Grellinga i Epimenidesa, argumentacja na rzecz konkretyzmu, syntaktyczna definicja „definicji” – a przede wszystkim trzy systemy formalne: prototetyka, ontologia i mereologia.

Leśniewski był – „dogmatycznym” antyirracjonalistą i zwolennikiem radykalnej logicyzacji filozofii w obu jej odmianach: logicznej rekonstrukcji terminologii filozoficznej (genetycznie związanej z językiem naturalnym) i logicznej rekonstrukcji całych koncepcji filozoficznych. Uprawianie filozofii w języku naturalnym uważał za anachronizm. Podstawowe swoje prace logiczne pisał dwutorowo: główny ich trzon miał postać ciągu formuł symbolicznych, ale poszczególne segmenty tego ciągu były opatrywane mnóstwem dygresji (uwag, komentarzy, przypisów i uzupełnień) w języku naturalnym, które traktował jako „relacje autobiograficzne” z historii kształtowania się przedstawionych w tych segmentach rozwiązań lub samodzielne sui generis rozprawy na poruszany właśnie temat.

W torze symbolicznym prac Leśniewskiego odzwierciedla się jego perfekcjonizm: dążenie do tego, aby tworzone przez niego systemy aksjomatyczne były całkowicie i explicite określone: co do słownika, co do reguł konstrukcji i inferencji oraz co do aksjomatyki. Konsekwencją tego było m.in. przestrzeganie postulatu (a) rygorystycznego rozróżniania języka i metajęzyka w logice oraz (b) eliminowania z języka logiki niemających ekstensjonalnej interpretacji funktorów intensjonalnych (z powodu braku zadowalającego intuicyjnie i formalnie systemu logiki intensjonalnej).

Drugi, „dygresyjny”, tor prac Leśniewskiego był wyrazem jego przekonania, że teorie logiczne powinny być nie asemantycznymi konstrukcjami, lecz systemami mającymi intuicyjną interpretację. Formalizacja jest nie „grą matematyczną”, jak chcieliby radykalni formaliści, lecz środkiem technicznym ścisłego przedstawiania poglądów dotyczących rzeczywistości. Uważał przy tym, że formalizacja umożliwia zredukowanie intuicji do pewnego minimum, ale nie pozwala wyeliminować intuicji „wzrokowej”, rozumianej jako odwoływanie się przy dołączaniu tez do systemu na podstawie oczywistości opartej na „liczeniu wyrażeń” i „przeprowadzaniu nad rozmaitymi wyrażeniami skomplikowanych nieraz rozważań kombinatorycznych”.

Wybrane kwestie szczegółowe

• Teoria sensu. Istnieje tylko jeden typ przedmiotów, a mianowicie konkrety-indywidua. W związku z tym język opisujący rzeczywistość nie powinien zawierać wyrażeń, które odnosiłyby się do innych przedmiotów niż właśnie indywidua.

Same wyrażenia – to indywidualne napisy resp. dźwięki. Bywają wyrażenia równokształtne resp. równobrzmiące, lecz nie ma niczego takiego jak wyrażenia-typy. Nie ma też tzw. wyrażeń potencjalnych: wolno mówić tylko o wyrażeniach faktycznie „wyprodukowanych”.

W takim ujęciu nie ma niczego takiego, jak sąd, będący semantycznym korelatem zdań-typów; niedopuszczalne jest także mówienie np. o nieskończonym zbiorze konsekwencji, wśród których siłą rzeczy musiałyby się znaleźć zdania nigdy przez nikogo nienapisane resp. niewypowiedziane.

• Gramatyka kategorialna. Jednym z „groźnych” następstw nieostrożnego posługiwania się pojęciem klasy (w sensie teorii mnogości) jest antynomia klasy wszystkich klas, które nie są własnymi elementami. Antynomialność pojęcia takiej klasy polega na tym, że jest ona i zarazem nie jest swoim własnym elementem.

Zadanie zapobiegania wspomnianej antynomii dobrze spełnia teoria kategorii semantycznych, nieprzesądzająca niczego na temat struktury rzeczywistości, o której de facto niewiele wiemy. Jest to bowiem teoria typów wyrażeń, a z wyrażeniami użytkownik języka, do którego te wyrażenia należą, ma „codzienny” bezpośredni kontakt.

Są trzy podstawowe kategorie semantyczne wyrażeń (zarówno stałych, jak i zmiennych): zdania, nazwy i funktory różnych typów. Funktory – to wyrażenia służące do konstruowania wyrażeń złożonych. Jeśli chcemy scharakteryzować bliżej, co i z czego konstruujemy za pomocą danego funktora, posługujemy się symbolem ułamka, w którego mianowniku zaznaczamy kategorię semantyczną wyrażenia zbudowanego za pomocą tego funktora, a w mianowniku – kategorie semantyczne wyrażeń, które ten funktor łączy, czyli kategorie semantyczne jego argumentów. Tak więc rolę funktora zdaniotwórczego od argumentu nazwowego i zdaniowego pełni np. wyrażenie „uważał, że” w zdaniu „Kotarbiński uważał, że Leśniewski był geniuszem logicznym”.

Wśród funktorów można wyróżnić kategorie wyższych rzędów – w zależności od tego, ile mają argumentów i do jakiej kategorii semantycznej te argumenty należą.

Antynomii, o której mowa wyżej, zapobiega obecność w gramatyce kategorialnej zasady, zgodnie z którą każde wyrażenie (przy określonym znaczeniu) należy do dokładnie jednej kategorii semantycznej.

• Denotacja i konotacja nazwy. Nazwijmy „symbolizowaniem” relację między danym wyrażeniem a tym, do czego się to wyrażenie odnosi. Symbolizowanie należy odróżnić od współoznaczania (scil. konotowania).

Jeśli się stoi na stanowisku nie-reistycznym, to wolno powiedzieć, że przez nazwy współoznaczane są pewne własności.

W wypadku imion własnych sytuacja przedstawia się następująco. Załóżmy, że a_i jest imieniem własnym. Przy tym założeniu a_i współoznacza własność posiadania imienia a_i. Imię własne „Stanisław Leśniewski” np. współoznacza własność posiadania imienia własnego „Stanisław Leśniewski”. Analogicznie jest w wypadku nazw własności. Załóżmy, że w_i jest taką nazwą. Wtedy w_i współoznacza własność identyczności z bytami symbolizowanymi przez nazwę w_i. Nazwa „czerwoność” np. współoznacza własność identyczności („bycia zupełnie równym”) z bytami, symbolizowanymi przez nazwę „czerwoność”.

Tym, co jest symbolizowane przez nazwy, są wyłącznie przedmioty (dla reisty będą to wyłącznie indywidua), które posiadają własności współoznaczane przez te nazwy – z zastrzeżeniem, że żadne wyrażenie nie symbolizuje siebie samego ani tych wyrażeń, które mają z tym wyrażeniem jakąkolwiek wspólną część składową. Na przykład napisane tutaj wyrażenie „wyrażenie polskie” oznacza każde wyrażenie polskie – z wyjątkiem wyrażenia tożsamego z ciągiem słów na szóstym i siódmym miejscu tego zdania oraz z wyjątkiem takich wyrażeń „wyrażenie polskie”, jak np. to, które jest częścią tego-oto numerycznie wyrażenia: wyrażenie „wyrażenie polskie”. Uwzględniwszy te zastrzeżenia, możemy powiedzieć, że żadne wyrażenie współoznaczające nie może znajdować się w relacji symbolicznej do samego siebie.

Nazwy – i ogólniej: wyrażenia – które są wewnętrznie sprzeczne, niczego nie symbolizują. Niczego też nie symbolizują nazwy, które nie współoznaczają żadnej własności. Takimi nazwami są np. słowa „byt” i „przedmiot”, gdyż słowa te są niedefiniowalne – bez popadnięcia w błędne koło lub regres do nieskończoności; nie można więc wskazać, co miałyby współoznaczać.

Na stanowisku reistycznym trzeba zrezygnować z posługiwania się kategorią współoznaczania (i eo ipso konotacji) przy opisie funkcji semantycznych nazw.

• Sens zdań. Na funkcję symbolizowania, pełnioną przez zdania, nałożony jest następujący warunek:

„Wszelkie zdanie ma symbolizować posiadanie przez przedmiot, symbolizowany przez podmiot, cech współoznaczanych przez orzeczenie.”

„Niespełnienie tego warunku prowadzi do tego, że symbolizacja jest nieadekwatna. Typowe wypadki nieadekwatnej symbolizacji – to: niezaznaczanie supozycji materialnej (jak np. w zdaniu „Paryż jest to imię własne”, którego adekwatną symbolizacją miałoby być zdanie „Słowo „Paryż” jest to imię własne”), posługiwanie się tzw. definicjami realnymi, tj. nie definicjami wyrażeń, lecz rzekomymi definicjami przedmiotów symbolizowanych przez te wyrażenia lub rzekomymi definicjami pojęć (jak to byłoby w wypadku rzekomej definicji „Człowiek jest to ssak o dwóch rękach i nogach”, podawanej zamiast rzeczywistej definicji „Słowo „człowiek” współoznacza własność bycia ssakiem o dwóch rękach i nogach).”

Jeśli wyróżnimy wśród zdań zdania analityczne i zdania syntetyczne i dopuścimy posługiwanie się pojęciem współoznaczania, to możemy je zdefiniować następująco:

(1) Zdanie „a jest b” jest zdaniem analitycznym, gdy ‘b’ nie współoznacza żadnej własności niewspółoznaczanej przez ‘a’.

(2) Zdanie „a jest b” jest zdaniem syntetycznym, gdy ‘b’ współoznacza m.in. pewne własności niewspółoznaczane przez ‘a’.

• Funkcje symbolizacyjne zdań egzystencjalnych. Zdaniami egzystencjalnymi są zdania o postaci:

(3) a istnieje.

(4) a-ki istnieją.

(5) a nie istnieje.

(6) a-ki nie istnieją.

Zdania (3) i (4) to pozytywne zdania egzystencjalne; zdania (5) i (6) to negatywne zdania egzystencjalne.

Wyrażenie „istnieje” (resp. „istnieją”) jest synonimem wyrażenia „jest bytem” (resp. „są bytami”), a wyrażenie „byt” – synonimem wyrażenia „przedmiot istniejący”. W związku z tym zdania (3)(6) są synonimiczne kolejno ze zdaniami:

(7) a jest bytem.

(8) a-ki są bytami.

(9) a nie jest bytem.

(10) a-ki nie są bytami.

Ponieważ nazwy ‘a’ i ‘a-ki’ symbolizują byty mające własności w_i, w_j, …, więc zdania (7)(10) wolno sparafrazować następująco:

(11) Byt mający własności w_i, w_j, … jest bytem.

(12) Byty mające własności w_i, w_j, … są bytami.

(13) Byt mający własności w_i, w_j, … nie jest bytem.

(14) Byty mające własności w_i, w_j, … nie są bytami.

Szczególnymi przypadkami zdań (13) i (14) są zdania, w których jedną z własności w_i, w_j, … jest własność nie-bycia-bytem (a więc nieistnienia).

Załóżmy, że jest to własność w_i; mamy wtedy:

(15) Byt mający własność nie-bycia-bytem i własności w_j, … nie jest bytem.

(16) Byty mające własność nie-bycia-bytami i własności w_j, … nie są bytami.

Przykładem zdań o schemacie (15) i (16) są odpowiednio zdania:

(17) Nieistniejący człowiek nie istnieje.

(18) Nieistniejący ludzie nie istnieją.

Widać teraz, że zdania typu (11) i (12) są zdaniami analitycznymi, gdyż ich orzeczenia nie współoznaczają niczego, a zatem nie współoznaczają także własności niewspółoznaczanych przez ich podmiot. Zdaniami analitycznymi są też zdania typu (15) i (16) – np. zdania (17) i (18) – gdyż ich orzeczenia współoznaczają coś (mianowicie nie-bycie-bytem), co jest także współoznaczane przez podmiot.

• Wartość logiczna zdań egzystencjalnych. Jak widać z powyższych rozważań – zdania typu (11) i (12) są zdaniami analitycznymi, gdyż ich orzeczenia nie współoznaczają niczego, a zatem nie współoznaczają także własności niewspółoznaczanych przez ich podmiot. Zdaniami analitycznymi są też zdania typu (15) i (16) – np. zdania (17) i (18) – gdyż ich orzeczenia współoznaczają coś (mianowicie niebyciebytem), co jest także współoznaczane przez podmiot.

Płyną z tego następujące konkluzje:

Wszystkie pozytywne zdania egzystencjalne – jako analityczne – są prawdziwe. Natomiast wszystkie negatywne zdania egzystencjalne są fałszywe. Jeśli bowiem są analityczne – jak zdania typu (15) i (16) – to są fałszywe dlatego, że ich podmiot („Byt mający własność nie-bycia-bytem etc.” lub odpowiednio „Byty mające własność nie-bycia-bytami etc.”) jest wewnętrznie sprzeczny. Jeśli zaś są syntetyczne – jak pozostałe negatywne zdania egzystencjalne typu (13) i (14) – to są fałszywe dlatego, że ich orzeczenie przypisuje bytowi własność bycia-nie-bytem.

Konkluzje te zdają się niezgodne z potocznymi intuicjami. Niezgodność tę można wyjaśnić tym, że zdania typu (3)–(6) bywają używane nieadekwatnie do symbolizacji tego, co adekwatną symbolizację ma w zdaniach:

(19) Pewien byt jest przedmiotem a.

(20) Pewne byty są przedmiotami a.

(21) Żaden byt nie jest przedmiotem a.

(22) Żadne byty nie są przedmiotami a.

Zdania powyższe zaś mogą być prawdziwe bądź fałszywe – w zależności od tego, co symbolizuje nazwa ‘a’.

W tej sytuacji nie da się przeprowadzić – postulowanej przez niektórych logików – redukcji wszystkich zdań do zdań egzystencjalnych. Załóżmy, że taka redukcja jest dopuszczalna – i rozważmy zdanie:

(23) Paryż nie leży w Chinach.

Synonimem zdania (23) byłoby wtedy zdanie:

(24) Paryż, który leży w Chinach, nie istnieje.

Zgodnie z przeprowadzonym wyżej rozumowaniem zdanie (24) – jako negatywne zdanie egzystencjalne – jest fałszywe, gdyż głosi ono, że:

(25) Byt, będący Paryżem, który leży w Chinach, nie jest bytem.

Zdanie (25) jest wewnętrznie sprzeczne, a więc – fałszywe. Tymczasem zdanie (23) jest zdaniem prawdziwym. Skoro tak, to ani zdanie (24), ani zdanie (25) nie jest adekwatną parafrazą zdania (23).

• Relatywizacja prawdziwości do systemu. Rozważania na temat prawdy i fałszu na gruncie „potoczności” nie mogą być prowadzone w sposób odpowiedzialny. Odpowiedzialna analiza tej problematyki wymaga relatywizacji do określonego systemu dedukcyjnego.

Rozważmy bowiem pewien ciąg formuł: 〈‘α_i’, ‘α_j’, …〉. Zapytajmy, czy jakaś formuła z tego ciągu, np. ‘α_i’, jest zdaniem prawdziwym. Zanim odpowiemy na to pytanie, musimy ustalić, czy formuła ‘α_i’ jest formułą sensowną. Przypuśćmy, że w formule ‘α_i’ występuje wyrażenie ‘a_j’, które jest zdefiniowane za pomocą formuły ‘α_j’, zajmującej w ciągu: 〈‘α_i’, ‘α_j’, …〉 – miejsce po formule ‘α_i’. Jeżeli tak jest, to jeżeli w formule ‘α_i’ występuje wyrażenie ‘a_j’, to formuła ‘α_i’ nie jest sensowna; formuły zawierające wyrażenie ‘a_j’ dopiero wtedy są sensowne, gdy następują po definicji ‘α_j’. Jedną z konsekwencji takiego postawienia sprawy jest konieczność uznania definicji za bezsensowną ze względu na wszystkie poprzedzające ją formuły. Dopiero w formułach następujących po formule ‘α_j’ wyrażenie zdefiniowane za pomocą formuły ‘α_j’ może być używane z sensem.

Jak pamiętamy – na stanowisku niereistycznym przyjmuje się konwencję, że zdanie symbolizuje posiadanie przez pewien przedmiot, mianowicie przez przedmiot symbolizowany przez podmiot tego zdania, cech współoznaczanych przez jego orzeczenie. Konsekwencjami tej konwencji są dwa „formalne” warunki prawdziwości zdań:

(26) Jeżeli zdanie ‘α’ jest prawdziwe, to podmiot zdania ‘α’ coś oznacza.

(27) Jeżeli zdanie ‘α’ jest prawdziwe, to orzeczenie zdania ‘α’ coś współoznacza.

Inaczej mówiąc:

(28) Jeżeli podmiot zdania ‘α’ niczego nie oznacza, to zdanie ‘α’ jest fałszywe.

(29) Jeżeli orzeczenie zdania ‘α’ niczego nie współoznacza, to zdanie ‘α’ jest prawdziwe.

Zgodnie ze stanowiskiem absolutyzmu aletycznego – prawdziwość jest niezmienną własnością (scil. wartością) niektórych zdań, tj.:

(30) ˄‘α’ {˅t (w chwili t: zdanie ‘α’ jest prawdziwe) → [˄s (chwila s jest wcześniejsza od chwili t → w chwili s: zdanie ‘α’ jest prawdziwe) ∧ ˄u (chwila u jest późniejsza od chwili t) → w chwili u : zdanie ‘α’ jest prawdziwe)]}. Swobodnie mówiąc: prawda jest odwieczna i wieczna.

Z poglądem tym wiąże się zazwyczaj uznawanie zasady dwuwartościowości, zgodnie z którą są tylko dwie wartości logiczne zdań, tj. prawdziwość i fałszywość. Mamy zatem:

(31) ˄‘α’ (zdanie ‘α’ jest prawdziwe ∨ zdanie ‘α’ jest fałszywe).

• Wolna twórczość i nieokreśloność przyszłości a prawda. Filozofowie polscy podjęli na początku XX wieku próbę wykazania, że zagadnienie prawdy sprzęgnięte jest ściśle z zagadnieniem indeterminizmu (Łukasiewicz) i z zagadnieniem twórczości (Kotarbiński): jeśli mianowicie indeterminizm jest trafny, a wolna twórczość możliwa, to trzeba odrzucić zarówno absolutyzm aletyczny, jak i zasadę dwuwartościowości. Tymczasem da się wykazać, że ani indeterminizm ani istnienie wolnej twórczości nie wymusza odrzucenia ani absolutyzmu aletycznego, ani zasady dwuwartościowości.

Dowód absolutyzmu aletycznego opiera się na zasadzie (nie)sprzeczności. Na gruncie tej zasady niemożliwe jest „stworzenie” jakiejś prawdy, czyli sprawienie, aby zdanie, które nie miało cechy prawdziwości, zaczęło ją w pewnym momencie posiadać.

Jednocześnie można okazać, że odwieczność prawdy nie wyklucza istnienia wolnej twórczości. Rozumowanie, które miałoby świadczyć o czymś przeciwnym – a więc że odwieczność prawdy wyklucza wolną twórczość – wolno zrekonstruować w następujący sposób.

Skoro prawda jest odwieczna, to (przypomnijmy) mamy:

(32) ˄‘α’ [˅t (w chwili t: zdanie ‘α’ jest prawdziwe) → ˄s (chwila s jest wcześniejsza od chwili t → w chwili s: zdanie ‘α’ jest prawdziwe)].

Zachodzi zależność następująca:

(33) ˄t˄‘α’ (zdanie ‘α’ jest prawdziwe w chwili t → niemożliwe jest, że zdanie ‘~α’ jest prawdziwe w chwili t).

Zgódźmy się, że:

(34) ˄a˄t˄‘α’ (niemożliwe jest, że zdanie ‘~α’ jest prawdziwe w chwili t → niemożliwe jest, że artysta sprawił w chwili t to, że ~α).

Załóżmy teraz, że:

(35) Zdanie ‘α’ jest prawdziwe w chwili t_i.

Z (32)–(35) wynika, że:

(36) ˄a˄s (chwila s jest wcześniejsza od chwili t_i → niemożliwe jest, że artysta a sprawił w chwili s to, że ~α).

Niech teraz „wolna twórczość” oznacza taką twórczość, która spełnia następujący warunek:

(37) ˄a˄t˄‘α’ [artysta a stworzył w chwili t to, że α → (możliwe jest, że artysta a sprawił w chwili t to, że α ∧ możliwe jest, że artysta a sprawił w chwili t to, że ~α)].

Na gruncie definicji (37) – i przy założeniu (35) – z (36) wynika, że:

(38) ˄a˄s˄‘α’ (chwila s jest wcześniejsza od chwili t_i → niemożliwe jest, że artysta a stworzył w chwili s to, że α).

Przypuśćmy teraz, że jakieś zdanie głosi, że pewien przedmiot jest rzeźbą głowy Niobe z Nieborowa, i że jest to zdanie prawdziwe w dniu o dacie D. Zgodnie z (38) żaden artysta nie mógł przed datą D stworzyć owej rzeźby. Ponieważ to ostatnie jest fałszem, zwolennik tezy, że odwieczność prawdy wyklucza wolną twórczość, musi odrzucić tezę (32) o odwieczności prawdy.

Tymczasem wniosek (38) należy zakwestionować nie dlatego, że fałszywa jest teza (32), tylko dlatego, że trzeba zakwestionować przesłankę (34).

• Antynomia Russella. Przez „pytanie antynomialne” rozumie się pytanie rozstrzygnięcia (tj. typu „Czy α?”) takie, że pozytywna odpowiedź właściwa na to pytanie, np. ‘α_i’, pociąga za sobą negatywną odpowiedź (właściwą) na to pytanie, tj. ‘~α_i’. Na pytanie antynomialne nie można więc udzielić prawdziwej odpowiedzi; dlatego pytanie takie jest „pseudoproblematem”.

Rozważmy najpierw antynomię Russella (czyli antynomię klasy klas niebędących własnymi elementami)

Załóżmy, że:

(1) Klasa k_i jest to klasa klas niebędących swoimi elementami.

Antynomia Russella – to pytanie:

(2) Czy klasa k_i jest swoim elementem? Załóżmy, że:

(3) Klasa k_i jest swoim elementem.

Wtedy oczywiście klasa k_i nie jest elementem klasy k_i. Zatem mamy:

(4) Jeżeli klasa k_i jest swoim elementem, to klasa k_i nie jest swoim elementem.

Załóżmy teraz, że:

(5) Klasa k_i nie jest swoim elementem.

Jako taka – klasa k_i jest elementem klasy k_i.

Zatem mamy:

(6) Jeżeli klasa k_i nie jest swoim elementem, to klasa k_i jest swoim elementem. Tezy (4) i (6) świadczą o tym, że pytanie (2) jest pytaniem antynomialnym.

Daje się wykazać, że nie istnieje klasa k_i – a dokładniej, że żaden przedmiot nie jest klasą k_i. W związku z tym zdania (3) i (5) mają podmioty, które niczego nie symbolizują; dlatego zdania te – oba – są fałszywe.

Odpowiednie rozumowanie można zrekonstruować następująco.

Założenie (1) jest definicją o postaci (formułę typu ‘A ε B’ czytamy tu i niżej: A jest B):

(7) k ε k_i ≡ ~ (k ε k).

Jeśli w definicji (7) na miejsce ‘k’ podstawimy ‘k_i’, to otrzymujemy antynomialną konsekwencję:

(8) k_i ε k_i ≡ ~ (k_i ε k_i).

Definiens definicji typu (7) powinien gwarantować niepustość podmiotu definiendum. Taką gwarancję stanowi dodanie – w tym wypadku – do definiensa członu:

(9) k ε k.

Kiedy jednak to zrobimy, widać, że definiens staje się wewnętrznie sprzeczny:

(10) k ε k_i ≡ [k ε k ∧ ~ (k ε k)].

Żaden przedmiot nie jest więc k_i – tj. ~ (k_i ε k_i).

• Antynomia Meinonga. Zapytajmy, czy istnieją przedmioty sprzeczne.

Załóżmy, że nie istnieją. Wtedy:

(11) Żaden przedmiot nie jest przedmiotem sprzecznym.

Inaczej mówiąc:

(12) Przedmiot sprzeczny nie jest przedmiotem.

Ale ogólnie mamy:

(13) Jeżeli a (nie) jest b, to pewien przedmiot jest a.

Gdyby bowiem żaden przedmiot nie był a, to żadne zdanie o a nie mogłoby być prawdziwe. Zatem – skoro (12) i (13), to:

(14) Pewien przedmiot jest przedmiotem sprzecznym.

Jak się okazuje: odpowiedź (11), że żaden przedmiot nie jest przedmiotem sprzecznym, pociąga za sobą wniosek (14), że pewien przedmiot jest przedmiotem sprzecznym – czyli drugą dopuszczalną (właściwą) odpowiedź na wyjściowe pytanie.

Jest więc „logicznie konieczne” – w szczególności w nauce – uznawanie istnienia przedmiotów sprzecznych. To jest istota antynomii Meinonga (czyli antynomii przedmiotów sprzecznych). Oto rozwiązanie tej antynomii.

Uznanie zależności stwierdzanej w zdaniu (13) nie prowadzi do uznania za prawdziwe zdania (14). Chodzi o to, że w świetle tej zależności nie może być prawdziwe zdanie (12). Jest tak dlatego, że podmiot tego zdania niczego nie oznacza; skoro tak – to zdanie (12) jest fałszywe i należy odrzucić zdanie głoszące, że istnieją przedmioty sprzeczne.

• Antynomia Nelsona-Grellinga. Czy człowiek, który zabija wszystkich niesamobójców, lecz nie zabija żadnego samobójcy, zabije sam siebie?

Według twórców antynomii każda (właściwa) odpowiedź na to pytanie prowadzi do swojej negacji, a zatem musi być fałszywa.

Załóżmy, że:

(15) Człowiek, który zabija wszystkich niesamobójców, lecz nie zabija żadnego samobójcy, zabije sam siebie.

Ale:

(16) Jeżeli ktoś zabija sam siebie, to jest samobójcą.

Z (15) i (16) mamy:

(17) Człowiek, który nie zabija żadnego samobójcy, zabija pewnego samobójcę, mianowicie samego siebie.

Załóżmy teraz, że

(18) Człowiek, który zabija wszystkich niesamobójców, lecz nie zabija żadnego samobójcy, nie zabije sam siebie.

Ale:

(19) Jeżeli ktoś nie zabija sam siebie, to jest niesamobójcą.

Z (18) i (19) mamy:

(20) Człowiek, który zabija wszystkich niesamobójców, zabija pewnego niesamobójcę, mianowicie samego siebie.

Skoro antynomia Nelsona Grellinga (czyli antynomia niesamobójców) opiera się na zasadzie wyłączonego środka, a zasada ta jest – jak można wykazać – fałszywa, to oparta na niej antynomia traci swą antynomialność.

Rozwiązanie polega więc na wykazaniu, że:

(21) Żaden przedmiot nie jest człowiekiem, który zabija wszystkich niesamobójców, lecz nie zabija żadnego samobójcy.

Przedmiot taki byłby bowiem przedmiotem sprzecznym: wyrażenie „człowiek, który zabija wszystkich niesamobójców, lecz nie zabija żadnego samobójcy” niczego więc nie symbolizuje, a w konsekwencji wszelkie zdania, w których pełni funkcję podmiotu, są zdaniami fałszywymi.

• Antynomia Epimenidesa. Oto rekonstrukcja antynomii Epimenidesa (czyli antynomii kłamcy) wolna od wad jej pierwotnego sformułowania: „Ja teraz kłamię”, gdzie występują okazjonalizmy „ja” i „teraz” oraz słowo „kłamać” zamiast właściwego tutaj wyrażenia „mówić fałsz”.

Otóż Epimenides w czasie t_i wypowiada zdanie:

(22) Zdanie wypowiedziane przez Epimenidesa w czasie t_i jest fałszem.

Oznaczmy – dla skrótu – zdanie wypowiedziane przez Epimenidesa w czasie t_i za pomocą symbolu: ‘α_i’. Dzięki temu formułę (22) można skrócić do postaci:

(23) ‘α_i’ jest fałszem.

Zapytajmy teraz, czy ‘α_i’ jest prawdą czy fałszem.

Przypuśćmy, że ‘α_i’ jest prawdą. Jeżeli tak, to prawdą jest też zdanie (22), a więc i (23). Jeżeli jednak prawdą jest, że ‘α_i’ jest fałszem, to ‘α_i’ jest fałszem. Zatem – jeżeli ‘α_i’ jest prawdą, to ‘α_i’ jest fałszem.

Przypuśćmy teraz, że ‘α’ jest fałszem. Jeżeli tak, to fałszem jest też zdanie (22), a więc i (23). Jeżeli jednak fałszem jest, że ‘α_i’ jest fałszem, to ‘α_i’ jest prawdą. Zatem jeżeli ‘α_i’ jest fałszem, to ‘α_i’ jest prawdą.

Antynomię tę da się usunąć przez przyjęcie konwencji zakazującej używania wyrażeń samozwrotnych, tj. zakazującej oznaczania przez dane wyrażenie numerycznie jego samego.

Konwencja ta brzmi:

Wyrażenie współoznaczające ‘a’ symbolizuje wszelki przedmiot posiadający cechy współoznaczane przez wyrażenie ‘a’ – z wyjątkiem samego wyrażenia ‘a’ oraz tych wyrażeń, które posiadają z wyrażeniem ‘a’ jakąkolwiek wspólną część składową.

W skrócie powiemy, że na gruncie powyższej konwencji z tego, że ‘α_i’ jest prawdą (resp. fałszem), wolno nam wyprowadzić wniosek, że prawdziwe (resp. fałszywe) jest każde zdanie wypowiedziane przez Epimenidesa w czasie t_i – z wyjątkiem zdania (22), gdyż jest to (jedyne) zdanie wypowiedziane przez Epimenidesa w czasie t_i. W związku z tym nie można wykonać kolejnych kroków rozumowania antynomialnego.

• Specyfika systemów formalnych. Dwa oryginalne systemy logiczne: prototetyka, czyli pewien odpowiednik logiki zdań, i tzw. ontologia, czyli pewna wersja rachunku nazw – wraz z mereologią, pomyślaną jako teoria alternatywna wobec teorii mnogości, mają stanowić nową – w stosunku do tradycyjnych rachunków logicznych i tradycyjnej teorii mnogości – podstawę matematyki, tj. być systemami, w których można ją zinterpretować.

Do swoistości tych systemów należą m.in.:

(a) niewystępowanie w nich zmiennych wolnych;

(b) posługiwanie się partykularyzatorem (scil. kwantyfikatorem partykularnym) „dla pewnego…” wyłącznie jako „skrótem typograficznym” wyrażenia z generalizatorem (scil. kwantyfikatorem generalnym) „nieprawda, że dla każdego… nieprawda, że”;

(c) traktowanie definicji danego systemu jako jego tez, z których można wyprowadzić tezy bez tych definicji niewyprowadzalne (eo ipso dopuszczenie posługiwania się definicjami twórczymi).

Przypomnijmy, że od systemów dedukcyjnych oczekuje się m.in., że będą niesprzeczne; za pożądane własności uważa się także zupełność i rozstrzygalność. System jest przy tym niesprzeczny, gdy klasa tez tego systemu jest tożsama z klasą jego (poprawnie zbudowanych) formuł. System jest zupełny, gdy dla każdej poprawnie zbudowanej formuły zdaniowej w języku tego systemu jest tak, że sama ta formuła lub jej negacja jest tezą owego systemu. System wreszcie jest rozstrzygalny, gdy istnieje efektywna – czyli obejmująca skończoną liczbę kroków – metoda ustalania, czy zdania, sformułowane w języku tego systemu, są jego tezami.

Nieodzowne jest więc zbadanie, czy poszczególne wersje wspomnianych systemów spełniają te oczekiwania. Powinno się też zadbać o to, by miały one możliwie optymalną aksjomatykę. W wyborze aksjomatyki należy kierować się zasadą, że z dwóch aksjomatyk lepsza jest pod względem strukturalnym ta aksjomatyka:

(a) która jest niezależna, tj. taka, że żaden z aksjomatów nie da się wyprowadzić z pozostałych za pomocą używanych w danym systemie reguł transformacji;

(b) w której występuje mniej terminów pierwotnych;

(c) która składa się z mniejszej liczby aksjomatów;

(d) której aksjomaty są krótsze;

(e) która zawiera mniej zmiennych różnokształtnych;

(f) której aksjomaty są organiczne, tj. takie, że żaden aksjomat nie jest ich częścią właściwą;

(g) która jest możliwie najbardziej homogeniczna kategorialnie, tj. w której mniejsza jest liczba kategorii semantycznych terminów pierwotnych;

(h) która jest kanoniczna, tj. składa się z jednego aksjomatu ekwiwalencyjnego – takiego, że zewnętrzne względem równoważności kwantyfikatory wiążą wyłącznie zmienne z jej lewego argumentu.

• Prototetyka a klasyczna logika zdań. Prototetyka zawdzięcza swą nazwę temu, że obejmować ma prototezy, czyli tezy najpierwotniejsze. Klasyczna logika zdań jest wyrażana w języku, który nie zawiera żadnych symboli kwantyfikatorowych. Natomiast w prototetyce występują kwantyfikatory wiążące zmienne należące do kategorii zdań, funktorów zdaniotwórczych od jednego i więcej argumentów zdaniowych oraz funktorów funktorotwórczych od jednego i więcej argumentów funktorowych, przy czym funktory te mają różne rzędy, poczynając od pierwszego, tj. funktora funktorotwórczego, którego argumentami są funktory zdaniotwórcze; stałymi funktorowymi są funktory zdaniotwórcze prawdy i fałszu.

Każda formuła klasycznej logiki zdań ma swój odpowiednik w prototetyce. Rozważmy np. następującą tautologię klasycznej logiki zdań:

(1) (α → β) ≡ ~ (α ∧ ~β).

Odpowiadająca tautologii (1) teza prototetyki różni się od tautologii (1) tym, że wszystkie zmienne zdaniowe są związane generalizatorami:

(2) ˄α˄β [(α → β) ≡ ~ (α ∧ ~β)].

Generalizatory służą tutaj do zastępowania metajęzykowych komentarzy, którymi są opatrywane tautologie klasycznej logiki zdań, a które głoszą, że po podstawieniu zdań za zmienne zdaniowe – z zachowaniem zasady, że za zmienne równokształtne podstawiane są takie same zdania – tautologia zawsze przekształca się w zdanie prawdziwe. Można ogólnie powiedzieć, że każdy odpowiednik tautologii klasycznego rachunku zdań w prototetyce powstaje przez poprzedzenie tej tautologii generalizatorami wiążącymi wszystkie zmienne zdaniowe występujące w owej tautologii.

Nie każda natomiast formuła prototetyki da się wyrazić w języku klasycznej logiki zdań. Do takich formuł należą np. prototetyczne definicje „koniunkcji” (∧), „fałszu” (Fls) i „prawdy” (Ver), oraz zasada ekstensjonalności:

(3) (α ∧ β) ≡ ˄α [α ≡ (Fα ≡ Fβ)].

(4) Fls α ≡ ˄α (α).

(5) Ver α ≡ (Fls α ≡ Fls α).

(6) ˄α˄β [(α ≡ γ) ≡ ˄F (Fα ≡ Fβ)].

W związku z powyższym prototetyka może być traktowana jako uogólnienie klasycznej logiki zdań.

• Wersje prototetyki. Prototetyka ma kilka wersji, różniących się między sobą m.in. terminami pierwotnymi. Jako przykłady niech posłużą dwa systemy ekwiwalencyjne – zwane „systemem S₁” i „systemem S₅” – oraz jeden system implikacyjny: S₄.

W wyjściowej (najsłabszej) ekwiwalencyjnej wersji prototetyki (S₁) Leśniewski przyjmuje następującą aksjomatykę:

(7) ˄α˄β˄γ [[(α ≡ γ) ≡ (β ≡ α)] ≡ (γ ↔ β)].

(8) ˄α˄β˄γ [[α ≡ (β ≡ r)] ≡ [(α ↔ β) ≡ γ]].

(9) ˄G˄α 〈˄F [G(α,α)] ≡ 〈{˄γ [F(γ,γ) ≡ G(α,α)] ≡ ˄γ {F(γ,γ) ≡ G [[α ≡ ˄β(β)],α]}} ≡ ˄β [G(β,α)]〉〉.

(Występujące w aksjomacie (9) – i w analogicznych kontekstach – funktory ‘F’ i ‘G’ są dowolnymi funktorami zdaniotwórczymi od dwóch argumentów zdaniowych, co odpowiada w rzeczywistości dwuargumentowym relacjom pomiędzy stanami rzeczy stwierdzanymi przez argumenty zdaniowe tych funktorów.)

W systemie tym obowiązują następujące reguły transformacji:

(A) Reguła odrywania, zgodnie z którą jeżeli tezami systemu są zarazem pewna ekwiwalencja i jeden z jej argumentów, to wolno dołączyć do systemu drugi argument.

(B) Reguła podstawiania, zgodnie z którą jeżeli tezą systemu jest pewna ekwiwalencja, to wolno dołączyć do systemu tezę, która powstaje z tej ekwiwalencji przez podstawienie na miejsce jej argumentów dowolnych ekwiwalencji.

(C) Reguła rozkładania kwantyfikatorów, zgodnie z którą jeżeli tezą systemu jest ekwiwalencja znajdująca się pod generalizatorem, to wolno dołączyć do systemu tezę, która powstaje z poprzedniej przez przeniesienie wszystkich lub tylko niektórych zmiennych skwantyfikowanych przed lewy i przed prawy argument wyjściowej ekwiwalencji. Na przykład aksjomat (1) wolno dzięki tej regule przekształcić w tezę:

(10) ˄α˄β˄γ [[(α ≡ γ) ≡ (β ≡ α)] ≡ ˄β˄γ (γ ≡ β)].

(D) Reguła dołączania definicji. Wolno dołączyć do systemu definicję, która (spełniając ściśle określone warunki): (a) jest ekwiwalencją zawierającą definiendum jako swój lewy argument; (b) jest zbudowana z generalizatora i znajdującej się pod nim ekwiwalencji zawierającej definiendum jako swój lewy argument.

(E) Reguła posługiwania się kwantyfikatorami, która wraz z pozostałymi regułami pozwala wykonać wszystkie niezbędne operacje na generalizatorach.

(F) Reguła ekstensjonalności, zgodnie z którą „wolno dodać do danego systemu nową tezę ‘α_i’ zaczynającą się od kwantyfikatora generalnego obejmującego funktory zmienne dowolnej „kategorii semantycznej”, jeżeli system ten zawiera już te tezy, które mogłyby być uzyskane z tezy ‘α_i’, gdyby – dla wspomnianych zmiennych – pewne funktory stałe były podstawione w miejsce tych zmiennych, dla których metoda definiowania dla wszystkich „kategorii semantycznych została przedtem ściśle ustalona”.

Przy użyciu tych reguł można z aksjomatyki systemu S₁ wyprowadzić wszystkie prawa klasycznego rachunku zdań, a ponadto zasadę ekstensjonalności i (co jest filozoficznie ważne) zasadę dwuwartościowości.

Aksjomatyka implikacyjnego systemu prototetyki S₄ obejmuje dwa aksjomaty:

(11) ˄α˄β [α → (β → α)].

(12) ˄α˄β˄γ˄F ‹F(γ, α) → {{F[γ,[α → Λδ(δ)]] → F(γ,β)}}›.

Najkrótsza aksjomatyka systemu ekwiwalencyjnego prototetyki (S₅), o odpowiednio zmodyfikowanych i sprecyzowanych regułach transformacji, ma postać następującego aksjomatu:

(13) ˄F˄α˄β˄γ˄δ˄ε 〈(α ≡ β) ≡ ˄G 〈F[α,F[α,˄ζ(ζ)]] ≡ {˄ζ [F(β,ζ)] ≡ {G[[(γ ≡ δ) ≡ ε],β] ≡ G[[(δ ≡ ε) ≡ γ],α]}}〉〉.

Z tego aksjomatu wyprowadzone zostały explicite 422 tezy.

Udowodniona została dotąd niesprzeczność prototetyki oraz zupełność tzw. prototetyki elementarnej (w której kwantyfikatory wiążą spośród funktorów funktorotwórczych jedynie funktory pierwszego rzędu).

• Ontologia. Ontologia jest rodzajem logiki nazw, nadbudowanym nad prototetyką. W szczególności słownik ontologii – poza terminami właściwymi prototetyki – zawiera: funktor kategorii z/nn, zmienne nazwowe i zmienne funktorowe. Terminem pierwotnym w ontologii jest wyraz „jest” oznaczany za pomocą symbolu ‘ε’. Właśnie to usprawiedliwia nazwę tego systemu, gdyż nawiązuje do greckiego odpowiednika słowa „jest”, czyli słowa „εστι”; imiesłów zaś od tego czasownika brzmi w grece: „ον”; można więc powiedzieć, że tak rozumiana ontologia jest teorią „tego, co jest”. Chodzi przy tym o to znaczenie, w którym „jest” występuje w zdaniach jednostkowych typu „a jest b” (‘a ε b’). Jak wiadomo, w języku polskim zdaniami o takiej budowie są zdania, w których „jest” pełni różne funkcje:

(a) Leśniewski jest logikiem.

(b) Warszawa jest stolicą Polski (ale do końca I Rzeczypospolitej był nią najpierw faktycznie, a potem formalnie Kraków).

(c) Każdy logik jest omylny.

Funktor ontologii występuje jedynie w zdaniu (a); w zdaniu (b) „jest” ma sens temporalny, scil. jest skrótem zwrotu „jest obecnie”; natomiast w zdaniu (c) stanowi część funktora „każdy… jest”, a więc ma sens niesamodzielny (scil. jest synkategorematem). Z kolei zdanie (a) może być rozumiane na dwa sposoby, a mianowicie jako ekwiwalent kolejno zdań:

(c) Leśniewski należy do zbioru logików.

(d) Leśniewski jest tożsamy z jednym z logików.

(Należy pamiętać, że w zdaniu (d) funktorem jest wyrażenie „jest tożsamy z”, a nie słowo „jest”.) Zgodnie z intencjami Leśniewskiego-nominalisty adekwatną interpretacją zdania (a) jest zdanie (e).

Szczegółowe intuicje semantyczne wiązane z tak rozumianym „jest” oddaje ciąg sześciu twierdzeń (gdzie ‘ob’ czytamy tu i niżej: jest przedmiotem).

(1) Pewne a jest b ≡ ˅c (c ε a ∧ c ε b).

(2) a jest b → ob a.

(3) Każde a jest b ≡ ˅c [c ε a ∧ ˄c (c ε a → c ε b)].

(4) A jest tym samym przedmiotem, co b ≡ (a ε b ∧ b ε a).

(5) Co najwyżej jeden przedmiot jest a ≡ ˄b˄c [(b ε a ∧ c ε a) → b = c].

(6) a jest b ≡ Λa [a ε b ∧ ˄c˄d [(c ε a ∧ d ε a) → c = d]].

Za pomocą terminu „jest” Leśniewski zdefiniował m.in. terminy „istnieje” (ex), „przedmiot” i „tożsamość” (scil. „identyczność”).

I tak:

(7) ˄a [ex a ≡ ˅b (b ε a)].

(8) ˄a [ob a ≡ ˅b (a ε b)].

(9) ˄a˄b [a = b ≡ (a ε b ∧ b ε a)].

W świetle tych definicji – Leśniewski istnieje, gdy coś jest-tożsame-z Leśniewskim; Leśniewski jest przedmiotem, gdy jest-tożsamy-z czymś; Leśniewski jest-tożsamy-z pewnym przedmiotem, gdy zarazem jest-tożsamy-z tym przedmiotem, a ów przedmiot jest-tożsamy-z Leśniewskim.

Pierwotnie aksjomatyka ontologii składała się z następującego aksjomatu:

(10) ˄a˄b {a ε b ≡ [˄c (c ε a → c ε b) ∧ ˅c (c ε a) ∧ ˄c˄d [(c ε a ∧ d ε a) → c ε d]]}.

Zgodnie z tym aksjomatem – warunek niezbędny i dostateczny tego, że a jest b (np. że Leśniewski jest logikiem), stanowi to, że zarazem:

(a) jeżeli pewne c jest-tożsame-z a, to owo c jest-tożsame-z-jednym-z b-ków (np. jeśli ktoś jest Leśniewskim, to jest logikiem);

(b) pewne c jest-tożsame-z a, scil. istnieje – w sensie powyżej zdefiniowanym – co najmniej jedno a (w naszym wypadku: istnieje co najmniej jeden Leśniewski);

(c) jeżeli pewne c jest-tożsame-z a i pewne d jest-tożsame-z a, to owo c jest-tożsame-z owym d, scil. istnieje co najwyżej jedno a (odpowiednio: Leśniewski jest co najwyżej jeden).

Ostatecznie aksjomat ten został skrócony do postaci:

(11) ˄a˄b [(a ε b) → ˅c [(a ε c) ∧ (c ε b)]].

Aksjomat ten głosi, mówiąc swobodnie, że a jest b, gdy istnieje c takie, że zarazem a jest-tożsame-z c i c jest-tożsame-z b (w naszym wypadku: Leśniewski jest logikiem, gdy istnieje ktoś taki, że zarazem Leśniewski jest tym kimś i ów ktoś jest logikiem).

W ontologii obowiązują reguły analogiczne do reguł prototetyki (w tym odpowiednik reguły ekstensjonalności).

Wykazane zostało, że ontologia elementarna (scil. z kwantyfikatorami wiążącymi wyłącznie zmienne nazwowe) jest niesprzeczna. Podano również dowód rozstrzygalności tej wersji ontologii.

• Konkretyzm. Konkretyzm jest stanowiskiem, zgodnie z którym istnieją tylko konkrety (scil. indywidua). Nie istnieją zatem w szczególności ani przedmioty ogólne, cechy i stosunki.

Dowód nieistnienia przedmiotów ogólnych wygląda następująco. Jego punktem wyjścia jest definicja „przedmiotu ogólnego” o postaci:

(1) Przedmiot a jest przedmiotem ogólnym względem grupy k przedmiotów indywidualnych, gdy przedmiot a posiada wszystkie i tylko takie cechy, które ma każdy przedmiot indywidualny należący do grupy k.

Rozważmy teraz na gruncie tej definicji jakiś (rzekomy) przedmiot ogólny – np. trójkąt-w-ogóle. Otóż prawdą jest, że np.:

(2) Trójkąt-w-ogóle nie posiada własności równoboczności.

Jest tak dlatego, że nie wszystkie trójkąty indywidualne podpadające pod trójkąt-w-ogóle posiadają własność równoboczności. Ale trójkąt-w-ogóle nie posiada też własności nieposiadania własności równoboczności – z tego samego powodu: nie wszystkie trójkąty indywidualne posiadają bowiem własność nieposiadania własności równoboczności. Przyjmijmy teraz, że:

(3) Jeżeli a nie posiada własności nieposiadania własności w, to a posiada własność w.

Skoro tak – i skoro trójkąt-w-ogóle nie posiada własności nieposiadania własności równoboczności – to:

(4) Trójkąt-w-ogóle posiada własność równoboczności.

Z (2) i (4) wynika to, że:

(5) Trójkąt-w-ogóle zarazem nie posiada własności równoboczności i posiada własność równoboczności.

W świetle (5) trójkąt-w-ogóle jest przedmiotem wewnętrznie sprzecznym, a żaden przedmiot nie jest przedmiotem wewnętrznie sprzecznym, czyli – trójkąt-w-ogóle, podobnie jak każdy przedmiot wewnętrznie sprzeczny, nie istnieje.

Rozumowanie to można powtórzyć dla każdego przedmiotu wewnętrznie sprzecznego. W konsekwencji nie ma żadnych przedmiotów ogólnych.

Definicję (1) można sparafrazować następująco:

(6) Jeżeli przedmiot a jest przedmiotem ogólnym względem przedmiotów należących do grupy k, przedmiot a jest k oraz przedmiot c należy do grupy k, to przedmiot c jest k.

Z (6) zaś wynika, że:

(7) Jeżeli istnieją przynajmniej dwa różne przedmioty należące do grupy k, to nie istnieje przedmiot ogólny względem przedmiotów należących do grupy k.

Rozumowanie powyższe można przedstawić schematycznie następująco (wszystkie zmienne są tu związane generalizatorami, które dla uproszczenia pomijamy; formułę typu ‘a gen k-ków’ czytamy tu i niżej: a jest przedmiotem ogólnym względem przedmiotów należących do grupy k):

(8) [a gen k-ków ∧ (a ε b ∧ c ε k)] → c ε b.

(9) [a gen k-ków ∧ (a ≠ d ∧ d ε k)] → d ≠ d [konsekwencja (8)].

(10) [a gen k-ków ∧ (a = d ∧ c ε k)] → c = d [konsekwencja (8)].

(11) [A gen k-ków ∧ d ε k] → a = d [konsekwencja (8)].

(12) [a gen k-ków ∧ (d ε k ∧ d ε k)] → [a gen g-ków ∧ (a = d ∧ c ε k)] [konsekwencja (11)].

(13) [a gen k-ków ∧ (d ε k ∧ d ε k)] → c = d [konsekwencja (12) i (10)]. Konsekwencją tezy (13) ma być właśnie teza (7).

Na zarzut wewnętrznej sprzeczności – i eo ipso nieistnienia – nie byłyby więc narażone jedynie takie przedmioty ogólne, pod które podpadałby jeden przedmiot jednostkowy lub pod które nie podpadałby żaden taki przedmiot.

• Zasada niesprzeczności. Zasada niesprzeczności głosi – w jednej z wersji – że nie może być zarazem prawdą, że α i ~α; inaczej mówiąc: dwa zdania, z których jedno jest negacją drugiego, nie mogą być zarazem prawdziwe; w wersji ontologicznej: żaden przedmiot nie może tej samej cechy posiadać i nie posiadać.

Dowód zasady niesprzeczności opiera się na czterech założeniach, które brzmią kolejno:

(1) Żadne zdanie wewnętrznie sprzeczne, tj. stwierdzające, że pewien przedmiot zarazem ma pewną własność i jej nie ma, niczego nie oznacza.

(2) Jeżeli jakieś zdanie niczego nie oznacza, to nie jest prawdziwe.

(3) Jeżeli jakieś zdanie nie jest prawdziwe, to zdanie z nim sprzeczne jest prawdziwe.

(4) Jeżeli jakieś zdanie jest prawdziwe, to zdanie z nim sprzeczne nie jest prawdziwe.

Z założeń (1)–(4) wynika, że niemożliwe jest, aby dwa zdania sprzeczne były zarazem prawdziwe.

W rozumowaniu powyższym została po raz pierwszy explicite użyta metoda parafrazy semantycznej, polegająca na tym, że zastępuje się omawiane zdanie innymi zdaniami, równoważnymi mu znaczeniowo, i następnie analizuje się otrzymane parafrazy. (W tym wypadku chodziło o to, by parafraza miała postać twierdzącego zdania podmiotowo­-
-orzecznikowego.)

• Zasada wyłączonego środka. Logiczna zasada wyłączonego środka głosi, że:

(5) Przynajmniej jedno z dwóch zdań sprzecznych (kontradyktorycznych) musi być prawdziwe.

Zasada ta jest fałszywa, a dowodzi tego istnienie zdań sprzecznych, z których żadne nie jest zdaniem prawdziwym. Są dwa typy takich zdań: zdania z podmiotem niczego nieoznaczającym (por. np.: „Każdy centaur posiada ogon” – „Pewien centaur nie posiada ogona”) oraz zdania egzystencjalne (np. „Człowiek istnieje” lub „Człowiek nie istnieje”), które są – jak pamiętamy – zawsze fałszywe, gdyż ich orzeczenie niczego nie współoznacza.

Odrzuciwszy w ten sposób logiczną zasadę wyłączonego środka, można uznać pewną osłabioną wersję tej zasady:

(6) Jeżeli jedno z dwu zdań sprzecznych jest fałszywe, to drugie z tych zdań jest prawdziwe, jeśli tylko jego podmiot i orzeczenie coś współoznaczają.

Zasada ta ma swoją wersję ontologiczną, która głosi, że:

(7) Jeżeli jeden z dwóch stanów rzeczy stwierdzanych przez zdania sprzeczne nie zachodzi, to drugi z tych stanów zachodzi, pod warunkiem, że istnieją przedmioty symbolizowane przez podmiot i orzeczenie owych zdań.

• Mereologia. Mereologia stanowi pewien „konkretystyczny” odpowiednik teorii zbiorów – jest mianowicie teorią zbiorów w sensie kolektywnym, a nie w sensie dystrybutywnym, jak to jest w zwykłej teorii mnogości.

Mereologia – w przeciwieństwie do teorii mnogości – ma być wolna od rozstrzygnięć, które były nie do przyjęcia z perspektywy, w której wierzy się, że tezy teorii, z aksjomatami na czele, są zdaniami prawdziwymi, nie zaś tylko jakimiś użytecznymi do osiągnięcia jakichś celów fikcjami. Takim nieuprawnionym rozstrzygnięciem miało było np. przyjęcie, że: (a) zbiór, którego jedynym elementem jest przedmiot a, jest różny od przedmiotu a; (b) jeżeli przedmiot a jest elementem zbioru przedmiotów b, to a jest b-kiem; (c) iloczyn zbiorów rozłącznych jest zbiorem pustym, a więc w istocie pewną fikcją teoretyczną (jako zbiór, do którego nic nie należy).

Najbardziej rzucająca się w oczy różnica między zbiorem dystrybutywnym (scil. mnogość) a zbiorem kolektywnym (scil. całością) polega na tym, że relacja, do której odnosi się pierwotny termin teorii mnogości „… należy do …” (symbolicznie: ∈), jest relacją atranzytywną, a relacja, do której odnosi się pierwotny termin mereologii „… jest częścią …” (w skrócie: part), jest relacją tranzytywną. W mereologii bowiem obowiązuje aksjomat (11) (zob. niżej), podczas gdy w teorii mnogości mamy:

(1) ˄a˄b˄c [(a ∈ b ∈ b ∈ c) → ~ (a ∈ c)].

Na przykład: skoro Leśniewski należy np. do mnogości logików k_i, a mnogość logików k_i należy np. do mnogości k_j, do której należy mnogość logików k_i i mnogość Polaków k_k, to Leśniewski nie należy do mnogości k_j; natomiast skoro jeden z kciuków Leśniewskiego jest częścią prawej ręki Leśniewskiego, a ta jest częścią samego Leśniewskiego, to ów kciuk jest też częścią Leśniewskiego.

Za pomocą terminu pierwotnego mereologii można zdefiniować m.in. terminy „… jest ingrediensem …” (ingr), „… jest klasą …” (cl), „… jest elementem …” (el), „… jest zbiorem …” (coll), „… jest zewnętrzne względem …” (extr), „… jest dopełnieniem … do …” (compl) oraz „suma … i …” (+).

(Symbol „non-…”, występujący w formule (6) i (10) czytamy: „… nie jest …”, a symbol ‘part’, występujący w formułach (10-(12) czytamy: „… jest częścią…”).

Otóż:

(2) ˄a˄b [a ingr b ≡ (a ∈ b ∨ a el b)].

(3) ˄a [A cl b-ków ≡ ˄c [c ingr a → ˅b˅d (d ingr c ∧ d ingr b)]]}.

(4) ˄a {a col b-ków ≡ { ob a ∧ ˄c {[c ing a → ˅b˅d [d ingr c ∧ (c ingr b ∧ b ingr a)] ]}}.

(5) ˄a/\b [a el b ≡ [b cl c-ków ∧ ˅c (a ∈ c)]].

(6) ˄a˄b [a extr b ≡ [ob a ∧ ˄c (c ingr b → c noning a)]].

(7) a subcol b ≡ [ob a ∧ ˄c (c ingr a → c ing b)].

(8) ˄a˄b [a compl b/c ≡ [b subcoll c ∧ A cl d-ków ∧ ˄d (d el c) ∧ d extr b].

(9) ˄a˄b˄c [a ∈ b+c ≡ [a cl (b lub c)-ków ∧ b extr c]].

Istnieją różne aksjomatyki mereologii. Pierwsza historycznie aksjomatyka jest następująca:

(10) ˄a˄b (a part b → b nonpart a).

(11) ˄a˄b˄c [(a part b ∧ b part c) → a part c].

(12) ˄a˄b˄c [(a cl c-ków ∧ b cl c-ków) → a ∈ b].

(13) ˅a (a ε b) → ˅c (c cl b-ków).

Intuicje, kryjące się za tą aksjomatyką, są takie: Nic nie jest częścią swojej części. Część części czegoś jest częścią tego czegoś. Klasy tych samych przedmiotów są ze sobą tożsame. Jeżeli istnieją jakieś przedmioty, to istnieje też klasa tych przedmiotów.

Do najważniejszych tez mających dowód w mereologii (a jest ich ok. trzystu) – należą tezy następujące:

(14) ~ ˅a [a cl b-ków ∧ ˄b ~ (b el b)].

(15) Teza „˄a˄b [(a el b ∧ b cl c-ków) → ˅c (a ∈ c)]” jest fałszem.

Ich waga polega na tym, że uniemożliwiają one skonstruowanie na gruncie mereologii antynomii Russella. Spośród tez udowodnionych w jednej z wersji prototetyki na uwagę zasługuje także teza głosząca, że:

(16) ˄a [A cl b-ków → ˄b (b = a ∨ b part a)].

Wynika bowiem z niej to, że klasa mająca dokładnie jedną część jest tożsama z tą częścią.

Wykazane zostało, że mereologia jest niesprzeczna.

BIBLIOGRAFIA

A. Wykazy prac: 

Bp.

B. Bibliografia podmiotowa:

1. Teksty naukowe:

1.1. Książki własne:

• 1913^k – Логические рассуждения. SPb., Sm, ss IV+ 88. • 1916^k – Podstawy ogólnej teorii mnogości. I. Ma., DAPP, ss.: 42. Toż w: FN r. VII (1999) nr 3–4 s. 173–208. • 1988^k – Lecture Notes in Logic. D., KAP, ss. XII+184.

1.2. Książki (współ)redagowane: 

Bp.

1.3. Zbiory tekstów własnych:

• 1992^z – Collected Works. V. I–II. W. & D., PWN & KAP, ss. XVI+794. • 2015^z – Pisma zebrane. T. I–II. W., WNS, ss. 876.

1.4. Artykuły:

• 1910 – William James (1842–1910). Sp r. III nr 40 s. 474–475. • 1911a – Głos w dyskusji nad odczytem Ignacego Halperna „Metafizyka, dzieje jej nazwy, pojęć, prądów”. RF t. I nr 1 s. 13b. • 1911b – Maurycy Straszewski. W dążeniu do syntezy (rec.). MNiep r. VI nr 175 s. 909–910. • 1911c – Problemat istnienia w oświetleniu norm gramatycznych (ar.). RF t. I nr 6 s. 133a–133b. • 1911d – Przyczynek do analizy zdań egzystencjalnych. PF r. XIV z. 3 s. 329–345. Toż w: FN r. II (1994) nr 1 s. 117–134. • 1911e – Zagadnienie przedmiotów sprzecznych a teoria języka (ar.). RF t. I nr 10 s. 222a–222b. • 1912 – Próba dowodu ontologicznej zasady sprzeczności. PF r. XV z. 2 s. 202–226. Toż w: FN r. II (1994) nr 2(6) s. 117–147. • 1913a – Czy prawda jest tylko wieczna, czy też i wieczna, i odwieczna? NT r. VIII z. 10 s. 493–528. Toż w: FN r. VIII (2000) nr 2 s. 135–156. Przekł. ros.: Является ли истина только вечной или также и вeчной и извечной. W: [Неретина (red.) 2015], s. 417–452. • 1913b – Krytyka logicznej zasady wyłączonego środka. PF r. XVI z. 2–3 s. 315–352. Toż w: FN r. VIII (2000) nr 1 s. 137–169. • 1913c – Problemat tworzenia prawdy (ar.). RF t. III nr 5 s. 125b. • 1913d – Władysław Biegański. Traktat o poznaniu i prawdzie (rec.). WDS r. VI t. II z. 7 s. 139–142. • 1914a – Czy klasa klas niepodporządkowanych sobie jest podporządkowana sobie. PF r. XVII z. 1 s. 63–75. • 1914b – O pewnej własności wszystkich klas (ar.). RF t. IV nr 3 s. 79b–80a. • 1914c – Przyczynek do krytyki teorii mnogości (ar.). RF t. IV nr 6 s. 161b. • 1914d – Teoria mnogości w Podstawach filozoficznych B. Bornsteina (ar.). PF r. XVII z. 4 s. 488–507. Toż jako: O podstawach filozoficznych teorii mnogości. FN r. VI (1998) nr 2 s. 123–139. • 1920 – Głos w dyskusji nad odczytem Tadeusza Kotarbińskiego „Czy wydziały filozoficzne uniwersytetów mają być wydziałami nauczycielskimi?”. NPJPOR t. III s. 51. • 1924 – Głos w dyskusji nad odczytem Tadeusza Kotarbińskiego „Prawdziwość i fałszywość definicji”. PF r. XXVII z. 3–4 s. 264. • 1925 – Głos w dyskusji nad odczytem Jana Łukasiewicza „O pewnym sposobie pojmowania teorii dedukcji”. PF r. XXVIII z. 1–2, s. 135–136. • 1927–1931 – O podstawach matematyki. PF r. XXX z. 2–3 s. 164–206, r. XXXI z. 3 s. 261–291, r. XXXII z. 1–2 s. 60–101, r. XXXIII z. 1–2 s. 77–105, r. XXXIV z. 2–3, s. 142–170. • 1928 – O podstawach teorii klas. O podstawach ontologii. O podstawach logistyki. PF r. XXXI z. 1–2 s. 160–161. • 1929a – Grundzüge eines neuen System der Grundlagen der Mathematik. Einleitung und §§ 1–11. FM t. XIV s. 1–81. • 1929b – Über Funktionen, deren Felder Abelsche Gruppen in bezug auf diese Funktionen sind. FM v. XIV s. 242–251. • 1929c – Über Funktionen, deren Felder Gruppen mit Rücksicht auf diese Funktionen sind. FM v. XIII s. 319–332. • 1930 – Über die Grundlagen der Ontologie. STNW wydz. III t. XXIII z. 4–6 s. 111–132. • 1932 – Über Definitionen in der sogenannten Theorie der Deduktion. STNW wydz. III r. XXIV z. 7–9 s. 289–309. Przekł. pol.: O definicjach w tak zwanej teorii dedukcji. FN r. IX (2001) nr 3 s. 165–179. • 1934 – Głos w dyskusji nad odczytem Jana Łukasiewicza „Z dziejów metody naukowej”. NPJPOR t. XIX s. 406. • 1938a – Einleitende Bemerkungen zur Fortsetzung meiner Mitteilung u. d. T. „Grundzüge eines neuen System der Grundlagen der Mathematik. CL v. I s. 1–60. • 1938b – Grundzüge eines neuen System der Grundlagen der Mathematik. § 12. CL v. I s. 61–144. • 1939 – Głos w dyskusji nad odczytem Jana Łukasiewicza „Geneza logiki trójwartościowej”. NPJPOR t. XXIV s. 218–220.

2. Publicystyka: 

Bp.

3. Teksty literackie: 

Bp.

4. Przekłady: 

Bp.

C. Bibliografia przedmiotowa:

■ Betti, Arianna: • 1998 – O prawdzie odwiecznej. Bolzano – Twardowski – Leśniewski. FN r. VI nr 2 s. 51–75. Przekł. ang.: Sempiternal Truth. The Bolzano-Twardowski-Leśniewski Axix. W: [Jadacki i Paśniczek (red.) 2006], s. 371–399. ■ Bornstein, Benedykt: • 1915 – W sprawie recenzji p. Stanisława Leśniewskiego rozprawy mojej pt. „Podstawy filozoficzne teorii mnogości”. PF r. XVIII z. 1–2 s. 121–140. ■ Czelakowski, Janusz & Rickey, Vincent Frederick & Srzednicki, Jan T.J.: • 1984^r – Leśniewski’s Systems. Ontology and Mereology. Hg. & Ww., MNP & O. ■ Grzegorczyk, Andrzej: • 1955 – The Systems of Leśniewski in Relation to Contemporary Logical Research. SL v. III s. 77–95. ■ Iwanuś, Bogusław: • 1973 – On Leśniewski’s Elementary Ontology. SL v. XXXI s. 73–119. ■ Jadacki, Jacek: • 2016 – Stanisław Leśniewski. Geniusz logiki. Bdg., OWE, ss. 382. Przekł. ang.: Stanisław Leśniewski. Genius of Logic. Bdg. 2020, OWE, ss. 356. ■ Kalinowski, Jerzy: • 1995–1996 – O istotnej użyteczności ontologii Stanisława Leśniewskiego. S t. XXIV-XXV s. 15–22. ■ Luschei, Eugene C.: • 1962 – The Logical Systems of Leśniewski. A., NHPC, ss. 362. ■ Marciszewski, Witold: • 1988 – Miejsce Stanisława Leśniewskiego we współczesnej myśli logiczno-filozoficznej. RPTM-II t. XXVIII s. 65–68. ■ Miéville, Denis: • 1984 – Un développement des systèmes logiques de Stanisław Leśniewski: protothétique, ontologie, méréologie. Brn., PL, ss. VIII+470. ■ Miszczyński, Ryszard: 2019 – Intuicyjny formalizm Stanisława Leśniewskiego. Cza., AJD, ss. 184. ■ Rickey, V. Frederick: • 1977 – A Survey of Leśniewski’s Logic. SL v. XXXVI nr 4 s. 407–426. ■ Simons, Peter M.: • 1982 – On Understanding Leśniewski. HPL v. III nr 2 s. 165–191. • 1985 – Leśniewski’s Logic and its Relation to Classical and Free Logics. W: [Dorn i Weingartner (red.) 1985], s. 369–400. ■ Słomska, Albina : 1977 – Znaczenie wczesnych prac Stanisława Leśniewskiego dla rozwoju logiki. Cza., WSPC, ss. 94. ■ Słupecki, Jerzy: • 1953 – Stanisław Leśniewski’s Protothetics. SL v. I s. 44–112. • 1955 – Stanisław Leśniewski’s Calculus of Names. SL v. III s. 7–76. ■ Sobociński, Bolesław: • 1934 – O kolejnych uproszczeniach aksjomatyki „ontologii” prof St. Leśniewskiego. W: [Fragmenty filozoficzne… 1934], s. 143–160, 212. ■ Srzednicki, Jan T.J. & Stachniak, Zbigniew: • 1998^r – Leśniewski’s Systems. Protothetic. D., KAP, ss. XIV+310. ■ Tatarkiewicz, Władysław: • 1914 – Stanisław Leśniewski. Krytyka logicznej zasady wyłączonego środka (rec.). Ks r. XIV t. II nr 8–12 s. 79–80. ■ Urbaniak, Rafał: • 2014 – Leśniewski’s Systems of Logic and Foundations of Mathematics. D., SV, ss. 230. ■ Welsh, Paul J. jr.: • 1978 – Primitivity in Mereology. I–II. NDJFL v. XIX nr 1 s. 25–62, nr 3 s. 355–385. ■ Woleński, Jan: • 1987 – Stanisław Leśniewski i jego rola w historii filozofii. EF v. II s. 207–226.